“Matematika” My Favorite

Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Nilai sinus sudut istimewa

$\sin 0^o = 0\,$

$\sin 15^o = \frac {\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\,$

$\sin 30^o = \frac{1}{2}\,$

$\sin 45^o = \frac {\sqrt{2}}{2}\,$

$\sin 60^o = \frac {\sqrt{3}}{2}\,$

$\sin 75^o = \frac {\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\,$

$\sin 90^o = 1\,$

Hubungan fungsi trigonometri

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \,$

$1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} = \sec^2 A\,$

$1 + \cot^2 A = \csc^2 A \,$

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\,$

Penjumlahan

$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \,$

$\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \,$

$\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \,$

$\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \,$

$\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \,$

$\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \,$

Rumus sudut rangkap dua

$\sin 2A = 2 \sin A \cos A \,$

$\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A -1 = 1-2 \sin^2 A \,$

$\tan 2A = {2 \tan A \over 1 - \tan^2 A} = {2 \cot A \over \cot^2 A - 1} = {2 \over \cot A - \tan A} \,$

Rumus sudut rangkap tiga

$\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A \,$

$\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A \,$

Rumus setengah sudut

$\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}} \,$

$\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} \,$

$\tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} = \frac {\sin A}{1+\cos A} = \frac {1-\cos A}{\sin A} \,$ JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA

BENTUK PENJUMLAHAN

® PERKALIAN

sin a + sin b = 2 sin a + b cos a – b
2              2
sin a – sin b = 2 cos a + b sin a – b
2             2
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a – b
2              2
cos a + cos b = – 2 sin a + b sin a – b
2             2

BENTUK PERKALIAN

® PENJUMLAHAN

2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a – b)
2 cos a sin b = sin (a + b) – sin (a – b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a – b)
– 2 sin a cos b = cos (a + b) – sin (a – b)

IDENTITAS TRIGONOMETRI
1. Rumus – rumus yang perlu dipahami:

a. Rumus Dasar yang merupakan Kebalikanb. Rumus Dasar yang merupakan hubungan perbandinganc. Rumus Dasar yang diturunkan dari teorema phytagoras

Contoh 1

Buktikan identitas berikut:

1. Sin α . Cos α . Tan α = (1 – Cos α) (1 + Cos α)

Jawab:

Ruas kiri = Sin α . Cos α . Tan α.

= Sin² α

= 1 – Cos² α

= (1 – Cos α) (1 + Cos α) = Ruas Kanan Terbukti!

1. Sin β . Tan β + Cos β = Sec β

Jawab:

Ruas Kiri = Sin β . Tan β + Cos β

= Sin β . + Cos β
=
=Sec β = Ruas Kanan Terbukti

2. Persamaan Trigonometri

a. Persamaan Trigonometri Sederhana

Contoh 2
Tentukan himpunan Penyelesaian dari Persamaan
Sin x = ,0^o ≤ x ≤ 360^o

^Jawab:
Sin x =
Sin x = Sin 30^o
x = 30^o + k . 360^o
untuk k= 1 ↔ x = 30^o
untuk k = 2 ↔ x = (180^o – 30^o) + k . 360^o= 150^o

HP:{30^o, 150^o}

b. Persamaan Trigonometri dalam bentuk a cos x + b sin x = c
Cara penyelesaian persamaan tersebut di atas sebagai berikut:
Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:
Cos y – Sin y = 1, jika 0o ≤ y ≤ 360o

Jawab:

Cos y – Sin y = 1 ↔ a = 1; b = – 1 ; c = 1

Sehingga diperoleh k =
Tan α =
= – 1 ↔ α dikuadran IV

jadi Cos y – Sin y = 1
↔Cos (x – 315^o) = 1
↔ Cos (x – 315^o) =
↔ Cos (x – 315^o) = Cos 45^o
↔ (x – 315^o) = 45o + k . 360^o
↔ x = 360^o + k . 360^o
↔ x = 360^o
Atau (x – 315^o) = – 45^o + 360^o
x = 270^o+ k . 360^o
x = 270^o
HP:{270^o, 360^o}

Statiska

me1

di mana:

Lo = tepi bawah dari kelas limit yang mengandung median,

Me = nilai median,

n = banyaknya data,

Fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas yang memuat median,

f0 = frekuensi kelas yang memuat median,

c = panjang intreval kelas.

Peluang
§ Simpangan Kuartil (Qd)

Contoh: Tentukan Qd dari: 2, 3, 4, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 10

Jawab: n=11

Q1 = ⁿ⁺¹/₄ = 3 (Data: 4)

Q3 = ³⁽ⁿ⁺¹⁾/₄ = 9 (Data: 10)

Qd = ½ (Q3 – Q1) = ½ x 6 =3

§ Simpangan Rata-rata (SR)

Contoh: Tentukan SR dari 2, 4, 6, 8, 10, 12

Jawab: rata-rata = 7

SR = (2-7)+(4-7)+(6-7)+(8-7)+(10-7)+(12-7) = 0

§ Simpangan Baku (S)

Contoh: hitunglah simpangan baku dari 1, 2, 3, 4, 5

Jawab: rata-rata = 3

S = √⁽^{1-3)2 + (2-3)2 + (3-3)2 + (4-3)2 + (5-3)2} = 1

¹⁰

2. Peluang

2.1. Faktorial

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

2.2. Permutasi

Contoh: Berapa banyak macam susunan huruf pada kata “DADU”?

₄P₄ = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

2.3. Kombinasi

Contoh: Ada berapa cara 2 orang dipilih dari 10 orang untuk bergabung dalam lomba?

Jawab:

₁₀C₂ = 10! = 45

2! x 8!

2.4. Peluang

Contoh: Berapa peluang kejadian muncul bilangan genap pada pelemparan dadu?

Jawab:

P(A) = n(A) = 3 = ½

N(S) 6

2.5. Peluang Gabungan Dua Kejadian Saling Lepas

Contoh: Dua buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 1 kali. Tentukan peluang kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu itu sama dengan 4 atau 5.

Jawab:

Kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu = 4 (1,3; 2,2; 3,1)

P(A) = ³/₃₆ = ¹/₁₂

Kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu = 5 (1,4; 2,3; 3,2; 4,1)

P(B) = ⁴/₃₆ = ¹/₉

Jadi P(A È B) = P(A) + P(B) = ³/₃₆ + ⁴/₃₆ = ⁷/₃₆

2.6. Peluang Kejadian yang Saling Bebas

Contoh: Dua buah dadu dilempar sekali, tentukan peluang munculnya mata dadu 2 pada dadu pertama dan mata dadu 6 pada mata dadu kedua!

P(A) = P(2) = ¹/₆

P(B) = P(6) = ¹/₆

P(A Ç B) = P(A) x P(B) = ¹/₆x ¹/₆ = ¹/₃₆

3. Persamaan Lingkaran

3.1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (0,0)

Rumus: x² + y² = r²

Persamaan lingkaran yang berjari-jari 4 cm dan berpusat di (0,0) adalah:

x² + y² = 16.

3.2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a,b)

Rumus: (x-a)² + (y-b)² = r²

Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (5,6) dan berjari-jari 4.

Jawab: (x-5)² + (y-6)² = 16

3.3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

x² + y²+ Ax + By + C = 0

Pusat lingkaran = (- ½ A, – ½ B)

Jari-jari = √(- ½ A)² + (- ½ B)² – C

Contoh:

Diketahui persamaan lingkaran: x² + y² + 2x + 4y – 6 = 0, tentukan pusat dan

jari-jari lingkaran.

Jawab:

Pusat Lingkaran= (- ½ .2, – ½ .4)= (-1, -2)

Jari-jari= Ö1 + 4 – (-6) = Ö11 = 3,33

3.4. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + 2x + 4y – 8 = 0 jika titik singgungnya (3,6)

Jawab:

x1.x + y1.y + ½ A (x + x1) + ½ B (y + y1) + C = 0

3x + 6y + 1.(x + 3) + 2.(y + 6) – 8 = 0

3x + 6y + x + 3 + 2y + 12 -8 = 0

4x + 8y + 7 = 0

http://www.findtoyou.com/powerpoint/download-peluang-440679.html

01/10/2010 | Categories: peluang, statistika, trigonometri | Tags: faktorial, fungsi trigonometri, identitas trigonometri, kombinasi, median, peluang, peluang kejadian saling bebas, persamaan lingkaran denagan pusat, simpangan baku, simpangan Quartil, simpangan rata - rata, statistika, Trigonometri | Tinggalkan komentar

Ceticangeblog's Blog Jadilah diriku sendiri

Posts tagged “identitas trigonometri”

“Matematika” My Favorite

Trigonometri

Nilai sinus sudut istimewa

Hubungan fungsi trigonometri

Penjumlahan

Rumus sudut rangkap dua

Rumus sudut rangkap tiga

Rumus setengah sudut