Jadilah diriku sendiri

Posts tagged “identitas trigonometri

“Matematika” My Favorite

Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Nilai sinus sudut istimewa

\sin 0^o = 0\,

\sin 15^o = \frac {\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\,

\sin 30^o = \frac{1}{2}\,

\sin 45^o = \frac {\sqrt{2}}{2}\,

\sin 60^o = \frac {\sqrt{3}}{2}\,

\sin 75^o = \frac {\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\,

\sin 90^o = 1\,

Hubungan fungsi trigonometri

\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \,
1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} = \sec^2 A\,
1 + \cot^2 A = \csc^2 A \,
\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\,

Penjumlahan

\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \,
\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \,
\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \,
\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \,
\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \,
\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \,

Rumus sudut rangkap dua

\sin 2A = 2 \sin A \cos A \,
\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A -1 = 1-2 \sin^2 A \,
\tan 2A = {2 \tan A \over 1 - \tan^2 A} = {2 \cot A \over \cot^2 A - 1} = {2 \over \cot A - \tan A} \,

Rumus sudut rangkap tiga

\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A \,
\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A \,

Rumus setengah sudut

\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}} \,
\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} \,
\tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} = \frac {\sin A}{1+\cos A} = \frac {1-\cos A}{\sin A} \,JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA

BENTUK PENJUMLAHAN

® PERKALIAN

sin
a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
2              2
sin
a – sin b = 2 cos a + b sin a - b
2             2
cos
a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2              2
cos
a + cos b = – 2 sin a + b sin a - b
2             2

BENTUK PERKALIAN

® PENJUMLAHAN

2 sin
a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos
a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos
a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
– 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)


IDENTITAS TRIGONOMETRI
1. Rumus – rumus yang perlu dipahami:

a. Rumus Dasar yang merupakan Kebalikanb. Rumus Dasar yang merupakan hubungan perbandinganc. Rumus Dasar yang diturunkan dari teorema phytagoras

Contoh 1

Buktikan identitas berikut:

    1. Sin α . Cos α . Tan α = (1 – Cos α) (1 + Cos α)

Jawab:

Ruas kiri = Sin α . Cos α . Tan α.

= Sin2 α

= 1 – Cos2 α

= (1 – Cos α) (1 + Cos α) = Ruas Kanan Terbukti!

    1. Sin β . Tan β + Cos β = Sec β

Jawab:

Ruas Kiri = Sin β . Tan β + Cos β

= Sin β . + Cos β
=
=Sec β = Ruas Kanan Terbukti

2. Persamaan Trigonometri

a. Persamaan Trigonometri Sederhana

Contoh 2
Tentukan himpunan Penyelesaian dari Persamaan
Sin x = ,0o ≤ x ≤ 360o

Jawab:

Sin x =
Sin x = Sin 30o
x = 30o + k . 360o
untuk k= 1 ↔ x = 30o
untuk k = 2 ↔ x = (180o – 30o) + k . 360o= 150o

HP:{30o, 150o}

b. Persamaan Trigonometri dalam bentuk a cos x + b sin x = c
Cara penyelesaian persamaan tersebut di atas sebagai berikut:
Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:
Cos y – Sin y = 1, jika 0o ≤ y ≤ 360o

Jawab:

Cos y – Sin y = 1 ↔ a = 1; b = – 1 ; c = 1

Sehingga diperoleh k =
Tan α =
= – 1 ↔ α dikuadran IV

jadi Cos y – Sin y = 1
Cos (x – 315o) = 1
↔ Cos (x – 315o) =
↔ Cos (x – 315o) = Cos 45o
↔ (x – 315o) = 45o + k . 360o
↔ x = 360o + k . 360o
↔ x = 360o
Atau (x – 315o) = – 45o + 360o
x = 270o + k . 360o
x = 270o
HP:{270o, 360o}

Statiska

me1

di mana:

Lo = tepi bawah dari kelas limit yang mengandung median,

Me = nilai median,

n = banyaknya data,

Fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas yang memuat median,

f0 = frekuensi kelas yang memuat median,

c = panjang intreval kelas.

Peluang
§ Simpangan Kuartil (Qd)

Contoh: Tentukan Qd dari: 2, 3, 4, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 10

Jawab: n=11

Q1 = n+1/4 = 3 (Data: 4)

Q3 = 3(n+1)/4 = 9 (Data: 10)

Qd = ½ (Q3 – Q1) = ½ x 6 =3

§ Simpangan Rata-rata (SR)

Contoh: Tentukan SR dari 2, 4, 6, 8, 10, 12

Jawab: rata-rata = 7

SR = (2-7)+(4-7)+(6-7)+(8-7)+(10-7)+(12-7) = 0

7

§ Simpangan Baku (S)

Contoh: hitunglah simpangan baku dari 1, 2, 3, 4, 5

Jawab: rata-rata = 3

S = √(1-3)2 + (2-3)2 + (3-3)2 + (4-3)2 + (5-3)2 = 1

10

2. Peluang

2.1. Faktorial

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

2.2. Permutasi

Contoh: Berapa banyak macam susunan huruf pada kata “DADU”?

4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

2.3. Kombinasi

Contoh: Ada berapa cara 2 orang dipilih dari 10 orang untuk bergabung dalam lomba?

Jawab:

10C2 = 10! = 45

2! x 8!

2.4. Peluang

Contoh: Berapa peluang kejadian muncul bilangan genap pada pelemparan dadu?

Jawab:

P(A) = n(A) = 3 = ½

N(S)   6

2.5. Peluang Gabungan Dua Kejadian Saling Lepas

Contoh: Dua buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 1 kali. Tentukan peluang kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu itu sama dengan 4 atau 5.

Jawab:

Kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu = 4 (1,3; 2,2; 3,1)

P(A) = 3/36 = 1/12

Kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu = 5 (1,4; 2,3; 3,2; 4,1)

P(B) = 4/36 = 1/9

Jadi P(A È B) = P(A) + P(B) = 3/36 + 4/36 = 7/36

2.6. Peluang Kejadian yang Saling Bebas

Contoh: Dua buah dadu dilempar sekali, tentukan peluang munculnya mata dadu 2 pada dadu pertama dan mata dadu 6 pada mata dadu kedua!

P(A) = P(2) = 1/6

P(B) = P(6) = 1/6

P(A Ç B) = P(A) x P(B) = 1/6 x 1/6 = 1/36

3. Persamaan Lingkaran

3.1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (0,0)

Rumus: x2 + y2 = r2

Persamaan lingkaran yang berjari-jari 4 cm dan berpusat di (0,0) adalah:

x2 + y2 = 16.

3.2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a,b)

Rumus: (x-a)2 + (y-b)2 = r2

Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (5,6) dan berjari-jari 4.

Jawab: (x-5)2 + (y-6)2 = 16

3.3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Pusat lingkaran = (- ½ A, – ½ B)

Jari-jari = √(- ½ A)2 + (- ½ B)2 – C

Contoh:

Diketahui persamaan lingkaran: x2 + y2 + 2x + 4y – 6 = 0, tentukan pusat dan

jari-jari lingkaran.

Jawab:

Pusat Lingkaran= (- ½ .2, – ½ .4) = (-1, -2)

Jari-jari= Ö1 + 4 – (-6) = Ö11 = 3,33

3.4. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 2x + 4y – 8 = 0 jika titik singgungnya (3,6)

Jawab:

x1.x + y1.y + ½ A (x + x1) + ½ B (y + y1) + C = 0

3x + 6y + 1.(x + 3) + 2.(y + 6) – 8 = 0

3x + 6y + x + 3 + 2y + 12 -8 = 0

4x + 8y + 7 = 0

http://www.findtoyou.com/powerpoint/download-peluang-440679.html


Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.